【16个微积分基本公式】微积分是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些基本的微积分公式对于学习和应用微积分具有重要意义。以下是16个常见的微积分基本公式，涵盖导数与积分的基本规则。
一、导数基本公式
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 1 | $\frac{d}{dx} (c) = 0$ | 常数的导数为0 |
| 2 | $\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$ | 幂函数求导法则 |
| 3 | $\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$ | 正弦函数的导数 |
| 4 | $\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$ | 余弦函数的导数 |
| 5 | $\frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x$ | 正切函数的导数 |
| 6 | $\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}$ | 自然对数的导数 |
| 7 | $\frac{d}{dx} (e^x) = e^x$ | 指数函数的导数 |
| 8 | $\frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$ | 对数函数的导数（底数a） |
二、积分基本公式
| 序号 | 公式 | 说明 | ||
| 9 | $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$） | 幂函数积分公式 | ||
| 10 | $\int \sin x dx = -\cos x + C$ | 正弦函数的积分 | ||
| 11 | $\int \cos x dx = \sin x + C$ | 余弦函数的积分 | ||
| 12 | $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ | 正切函数的积分 | ||
| 13 | $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ | 1/x的积分 |
| 14 | $\int e^x dx = e^x + C$ | 指数函数的积分 | ||
| 15 | $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0, a \neq 1$） | 指数函数的积分（任意底数） | ||
| 16 | $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ | 反三角函数积分 |
三、总结
以上16个微积分基本公式涵盖了初等函数的导数与积分运算，是微积分学习的基础内容。熟练掌握这些公式有助于在解题过程中快速判断函数的变化率或累积量，是进一步学习高等数学的重要基石。
在实际应用中，还可能遇到更复杂的函数形式，如复合函数、分段函数、参数函数等，此时需要结合链式法则、换元积分法、分部积分法等进阶技巧进行处理。建议在理解每个公式的基础上，通过大量练习来加深记忆与应用能力。