【二次函数求根公式】在数学中，二次函数是一种常见的多项式函数，形式为 $ y = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $。求解二次函数的根（即方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解）是代数中的基本问题之一。通过求根公式，可以快速、准确地找到二次方程的解。
一、二次函数求根公式的定义
二次方程的标准形式为：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
其求根公式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中：
- $ a $ 是二次项系数；
- $ b $ 是一次项系数；
- $ c $ 是常数项；
- $ \sqrt{b^2 - 4ac} $ 称为判别式，记作 $ D $。
二、判别式的含义
判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 决定了二次方程的根的性质：
| 判别式 $ D $ | 根的情况 |
| $ D > 0 $ | 有两个不相等的实数根 |
| $ D = 0 $ | 有一个实数根（重根） |
| $ D < 0 $ | 没有实数根（有两个共轭复数根） |
三、求根公式的应用步骤
1. 确定系数：从方程中找出 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。
2. 计算判别式：计算 $ D = b^2 - 4ac $。
3. 判断根的类型：根据判别式的正负判断根的性质。
4. 代入公式：将数值代入求根公式，计算出两个根。
四、示例解析
例题：解方程 $ 2x^2 + 5x + 2 = 0 $
1. 系数：$ a = 2 $, $ b = 5 $, $ c = 2 $
2. 判别式：$ D = 5^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9 $
3. 根据判别式 $ D > 0 $，有两个不相等的实数根
4. 代入公式：
$$
x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}
$$
所以，根为：
- $ x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $
- $ x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 $
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ |
| 根的性质 | - $ D > 0 $：两实根 - $ D = 0 $：一实根 - $ D < 0 $：两虚根 |
| 应用步骤 | 1. 确定系数；2. 计算判别式；3. 判断根；4. 代入公式 |
| 示例 | 方程 $ 2x^2 + 5x + 2 = 0 $，根为 $ -\frac{1}{2} $ 和 $ -2 $ |
通过掌握二次函数的求根公式，我们可以更高效地解决实际问题，如物理运动轨迹分析、经济模型预测等。在学习过程中，理解公式的推导过程和判别式的意义，有助于加深对二次方程的理解与应用能力。